Binomium formule
De binomium formule kun je met combinaties schrijven als
waarin n een natuurlijk getal is.
Uitleg
We schrijven het binomium uit en zien
⁰ = 1.gif){kind=small}
¹ = a + b.gif){kind=small}
² = a² + 2ab + b².gif){kind=small}
³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.gif){kind=small}
⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.gif){kind=small}
⁵ = a⁵ + 5a⁴ b + 10a³ b² + 10a² b³ + 5a b⁴ + b⁵.gif){kind=small}
⁶ = a⁶ + 6a⁵ b + 15a⁴ b² + 20a³ b³ + 15a² b⁴ + 6a b⁵ + b⁶.gif){kind=small}
Elke term kun je schrijven in de vorm
coëfficiënt × am bn
De ontwikkeling van de coëfficiënten gaat volgens de driehoek van Pascal. Een getal ontstaat uit de som van het getal links en rechts er juist boven.
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
In de rijen lopen de getallen eerst op, en dan lopen ze weer af. Dat kun je ook zien bij het berekenen van combinaties. Daar staat de formule
Het bovenste getal n is de macht van het binomium, het onderste getal k is het lopende nummer van de term in de uitkomst. We kunnen nu schrijven
De som van het binomium luidt
Weer uitgeschreven levert dat
De meest gebruikte vorm toont duidelijk dat het binomium een reeks is